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Para otimizar o controle de nível em regime não linear podem-se empregar técnicas, baseadas na teoria de identificação de sistemas, para buscar o modelo ótimo do regime de funcionamento. Em um sistema de tanques com transdutores de nível e caudal, e com válvulas e bombas monitorizáveis e controláveis remotamente, implementaram-se algoritmos que permitiram obter, com alguns minutos de gravação, os modelos matemáticos de cada regime de operação. A otimização de controladores foi também feita e é perfeitamente implementável em ambientes industriais.

Em aplicações industriais o controle de nível de reservatórios é frequentemente acumulado com o controle de outras variáveis de interesse, como a temperatura ou o caudal. Os sistemas de controle com melhor desempenho estão dotados de capacidade para interpretar e prever os efeitos cruzados entre variáveis. Esta tarefa complica-se especialmente em casos onde existem não linearidades importantes no processo, devendo-se para tal conseguir adaptar o controlador à nova situação. Consequentemente, uma abordagem baseada em controle preditivo, em vez de puramente reativo, trará ganhos significativos no controle de um sistema não linear em que não se podem garantir condições de funcionamento.

Sistemas não lineares ou de modelação complexa, ou mesmo impossível, são frequentemente sujeitos a técnicas de identificação (Aguirre). Encontram-se exemplos de aplicação de algoritmos a sistemas variados desde aviões (Narendra), a reatores (Gregorcic), até medidores de pressão arterial (Pinheiro). Para otimizar o controle de nível em regime não linear sem sobrecarregar os sistemas de controle, podem-se empregar técnicas baseadas na teoria de identificação de sistemas, para buscar o modelo que melhor representa o regime de funcionamento do processo (Nelles). Partindo de um sistema de tanques com transdutores de nível e caudal, e com válvulas e bombas monitorizáveis e controláveis remotamente, procedeu-se à identificação do modelo que melhor representa o processo por injeção de ruído branco. Em seguida percorreu-se um largo espectro de regimes de funcionamento, bem como de perturbações, para estimular as várias não linearidades existentes, aplicando-se, para todos estes casos também, métodos de identificação dinâmica de sistemas.

Para a aplicação das técnicas de identificação de sistemas foi desenvolvido software próprio, comunicando em tempo real com os equipamentos por meio de uma placa (NI USB-6008, com 8 entradas analógicas de escala de tensão programável e 2 saídas analógicas em tensão) ligada a um computador por USB. As entradas e saídas foram conectadas a hardware de condicionamento de sinal, permitindo a implementação dos algoritmos conhecidos. Um período de dez minutos de gravação foi suficiente para se obterem os modelos matemáticos CRA e temporais de estrutura OE, ARX, ARMAX, BJ, de diferentes parâmetros, correspondentes a todos os regimes de operação, pelo que a optimização de controladores industriais por este método pode igualmente ser conseguida em pouco tempo.

 


Identificação de Sistemas

A identificação de um sistema real pode ser um processo interativo, onde se parte de alguns pressupostos para determinar um modelo do sistema, que pode ou não cumprir com os critérios de validação, devendo-se então modificar os parâmetros ou a estrutura do modelo, ou mesmo voltar à fase de testes para obter novos dados experimentais, que permitam recuperar eventuais falhas. É fundamental para a correta identificação do sistema obter um conjunto de dados válido, portanto com uma frequência de amostragem que respeite o teorema de Nyquist e com um número de amostras suficientemente elevado para ser representativo da resposta global do sistema. Com estes pontos cumpridos, será determinante a obtenção de um modelo com uma estrutura razoável, em termos de número de polos e zeros, face à modelação previamente feita, e que verifique os critérios de validação da estimativa.

 


Aquisição dos dados e pré-processamento

Os dados obtidos devem ter o máximo poder de descrição do processo, para tal é usual colocar-se na entrada ruído branco, para excitar todas as frequências do sistema. O procedimento mais comum consiste em forçar a entrada a assumir um de dois valores, consoante o valor do ruído branco ultrapasse ou não um dado limite. Convém fazer uma limitação do ritmo de transição do sinal de entrada, de forma a adequá-lo às características do processo, e garantir que a saída será representativa. Havendo uma estimativa para a frequência máxima do processo, pode-se sobredimensionar uma frequência de amostragem para garantir o cumprimento do critério de Nyquist. É possível que a normal frequência de operação do sistema DCS permita uma identificação correta. O pré-processamento dos dados refere-se a um conjunto de operações que podem ser executadas sobre os dados adquiridos, de forma a melhorar os resultados obtidos com a aplicação dos algoritmos para extração do modelo do sistema. Estas operações incluem a remoção da média do sinal, filtragem de componentes ruidosas do espectro, entre outras.

 


Obtenção do modelo

Consoante se tenha um modelo feito à medida ou um modelo genérico, teremos maior ou menor conhecimento a priori da relação entrada-saída do sistema. Utilizando as leis da física, podemos obter uma primeira aproximação da resposta do sistema, que nos permitirá conhecer aproximadamente quais as frequências próprias do sistema, qual o tempo de ensaio necessário e quais os parâmetros mais influentes na resposta. Genericamente os problemas de identificação podem ser categorizados como paramétricos ou não paramétricos (Lyung). Nos casos em que se está a lidar com problemas não paramétricos, existem diversos métodos para adquirir um modelo do sistema ou de algumas das suas curvas características, desde os mais simples como a análise transitória ou a análise em frequência, até aos mais elaborados como a análise de correlação (CRA) ou a análise espectral (SPA). Nos problemas paramétricos também existem diversos métodos para extrair um modelo do sistema. Apresentam-se sucintamente na tabela 1 os modelos mais usados durante a experiência, notando-se que o ARMAX, ARX e OE podem ser vistos como particularizações do de Box-Jenkins para casos específicos.

 


 

Possuindo algoritmos de cálculo diferentes e substancialmente mais rápidos.

 


Validação do modelo

Após a obtenção do modelo, segue-se o processo de validação, através do qual se procuram descobrir eventuais lacunas ou limitações, averiguar se há potencial para eventuais melhorias, ou se existem erros mais graves, ao nível da desadequação dos dados obtidos, que obrigam a um maior retrocesso no plano de projeto. É nesta fase de comparação que se vão quantificar os erros de estimação, por exemplo através da análise de resíduos.

É prática banal a obtenção do modelo utilizando apenas uma porção dos dados obtidos, para que a fração restante permita comparar a resposta do modelo e a do sistema real, averiguando se estamos próximos da solução ótima. Esta otimalidade da solução pode ser definida como a que minimiza o erro quadrático médio, ou ainda acrescida de uma penalização em função da sua dimensão. Estas soluções dizem-se regularizadas, e uma forma típica é a adição de um regularizador de Tikhonov, que permite optar entre a quantidade de erro e o custo, por exemplo combustível ou comburente, que a solução acarreta.

 




Sistema de Tanques

No sistema de tanques mostrado nas duas figuras seguintes (1 e 2), pretendese identificar a influência da válvula V7 (a válvula de controle de caudal entre tanques, Asco 203) no nível do tanque 2, supondo que se tenha um abastecimento, medido por um transmissor Brukert 8032, do tanque 1 de tal forma que o nível deste se pode supor constante. Contudo, as outras válvulas de controle, Burkert 6213, vão também atuar dinamicamente sobre o sistema, e serão responsáveis pela criação de outros regimes de funcionamento. Acresce que a ação da bomba é uma fonte acrescida de não linearidades, devido ao fato de o tanque 1 ser fechado, pelo que a sua pressão interna, registrada por transmissor Asco 8908, será bastante volátil. Portanto, o tanque 1 não se poderá considerar um referencial de estabilidade e as intricadas relações entre os dois tanques vão ser fonte de não linearidades fortes.

 

 

 

 

Modelação do sistema

Neste caso, é possível fazer a modelação, contudo, empregam-se algumas simplificações das leis que regem o comportamento dos fluidos, terá de se supor a idealidade dos elementos, e ainda assim, haverá que acertar numerosas constantes (da bomba, das válvulas, dos tanques, dos fluidos), pelo que será menos frutífero este trabalho do que a identificação. Considerando que o tanque tem capacidade C e que a resistência que as válvulas apresentam se reflete diretamente nos caudais, devido ao efeito integrador de caudal por parte do tanque, obtém-se uma função de transferência de primeira ordem:

 

 

onde u(k) é o caudal de entrada, q(k) o de saída, e y(k) a altura da coluna de líquido no tanque. Aplicando a equação de Bernoulli à superfície do tanque e à saída tem-se:

 

 

logo,

 

 

Isto indica que, mesmo para o caso ideal em que o tanque 1 é assumido de nível constante, se obtém uma equação diferencial não linear, que mesmo assim não entra em conta com várias não idealidades do sistema. A solução desta equação, e do sistema que se obtém quando se junta a não estacionaridade do tanque 1, é pouco prática, e totalmente impossível de ser extensível com facilidade aos processos industriais. De fato, o processo onde se encontra o sistema de tanques é bastante mais complexo, como se ilustra na seguinte figura 2, sendo a sua modelação completa um processo extremamente trabalhoso e complexo, em nada comparável ao procedimento de identificar o sistema.

 

 

Procedimento experimental

Os dados podem ser adquiridos durante o normal funcionamento do processo, ou, adicionando perturbações em forma de ruído branco e registrando a saída. Se estiver estabelecido um protocolo de comunicações com os aparelhos, será bastante simples programar os passos necessários para gravar os dados. Acrescente-se que os dados podem ser guardados para análise e processamento offline, ou pode-se calcular os modelos durante a aquisição, enquanto a dimensão dos dados não introduza demoras na computação que interfiram na cadeia de comando. Dois softwares foram empregados para gerar o ruído necessário, sendo igualmente fácil e viável em ambos. Na figura 3 exemplifica-se com o código composto em Simulink (Mathworks) para geração e monitorização dos sinais analógicos, ruído para a válvula V7 e leitura do transdutor de pressão.

 


 

Dada a grande capacidade dos tanques, o período de amostragem aplicado foi de 3 segundos. Assim, diminui-se a quantidade de dados a processar, o que acelera significativamente alguns algoritmos, e a quantidade de ruído, embora mantendo a definição necessária. A identificação foi feita colocando o processo em torno dos vários pontos de funcionamento, e iniciando a gravação em seguida. Para cada ponto de funcionamento os dados recolhidos constituíram uma matriz de 184 valores, que se dividiu em dados de teste (1 a 93) e dados de validação (94 a 184). Efectuou-se a extração da média como operação de pré-processamento, para normalizar os dados obtidos para vários níveis e identificar-se apenas a dinâmica.

 


Resultados da Identificação

Procedeu-se primeiro à identificação do modelo para o caso mais simples, em que o tanque 1 apresenta um nível constante de 60% e o tanque 2 ronda os 30%, com a bomba a velocidade constante e equilibrando o nível do tanque 1. Em seguida, passaram-se por outros seis regimes de funcionamento, sujeitos a diferentes especificações de nível dos dois tanques e de funcionamento da bomba, para além de diferentes perturbações, pela diferente e aleatória atuação das válvulas de purga, criando diferentes caudais de saída, para estimular as várias não- linearidades existentes. Aplicaram-se para todos estes casos métodos de identificação dinâmica de sistemas, obtendo-se os modelos matemáticos correspondentes, de tipo CRA e temporais de estrutura OE, ARX, ARMAX, BJ, de diferentes parâmetros de ordem e atraso.

 


Primeiro ponto de funcionamento

Tendo-se já removido a média dos dados, efetuou-se a extração do modelo por correlação (CRA) para obter uma estimativa do eventual atraso do sistema, através da resposta transitória ao degrau unitário. Como ilustrado na figura 4, constatou-se que nestas condições o sistema apresenta um atraso de duas unidades de tempo.

 

 

Sabendo que o processo apresenta um atraso de duas unidades de tempo, aproximou-se o comportamento com modelos de primeira e segunda ordem com um atraso de duas unidades de tempo, para todas as estruturas atrás descritas, Box-Jenkins, ARMAX, ARX e OE. A adequação dos modelos, fit, foi estimada de acordo com a equação (1), uma métrica habitual, onde se mede a melhoria conseguida por estimar y(k) com o modelo, , em vez de simplesmente tomar a média.

 

 

Todos os modelos de primeira ordem apresentaram graus de fit a rondar os 60%, excetuando-se o ARX com um fit de aproximadamente 47. Os modelos de segunda ordem (ordem das funções de transferência que compõem o modelo) com o mesmo atraso melhoraram muito o grau de aproximação das curvas aos dados experimentais de validação, tendo todos os modelos um fit a rondar os 81%. As estimativas dos modelos face aos dados reais apresentam-se na figura 5.

 

 

Nessa figura verifica-se que os modelos de segunda ordem seguem muito mais proximamente a resposta real, de tal forma que é quase impossível distinguir diferenças entre eles. Nos modelos de 1ª ordem a diferença é mais notória. Efetuando a análise de resíduos, constata-se também que à melhoria nos resultados no tempo ao aumentar de 1ª para 2ª ordem, acresce que não há overfitting. A componente dos dados que não é explicada por alguns modelos, nomeadamente o OE a azul, continua a ser não correlacionado e passa a ser independente, portanto tem-se a melhor descrição dos dados possível. A autocorrelação mostra que os resíduos são não correlacionados, enquanto a correlação cruzada mostra que são independentes, estando-se em ambos os casos totalmente

dentro do intervalo de confiança de 99% traçado. Veja a figura 6.

 

 

Abandonamos por isso a análise dos modelos de 1ª ordem, notando o fato de que nos modelos de 3ª e superiores começa a haver overfitting aos dados, pois apesar de se melhorar muito pouco o fit, os resíduos deixam de ser independentes. Isto é, os modelos de ordem superior começam a ter polos e zeros que não descrevem a dinâmica do sistema.
O máximo grau de fit possível foi obtido por um OE de terceira ordem (81,8%) e um Box-Jenkins de quinta ordem (82,6%), ambos de atraso de duas unidades, quando um OE de segunda ordem apresenta um fit de 81,6%. Verifica-se portanto que o fit máximo dos dados ronda os 82, pelo que, um modelo OE de 2ª ordem com um fit de 81,6 pode ser encarado como uma solução bastante boa, visto ser um modelo bem simples com resultados equiparados aos mais elaborados. Os modelos de 2ª ordem apresentam uma resposta ao degrau unitário bastante semelhante, bem como o fit, mas a análise de resíduos revelou que o OE era o mais simples que respeitava os intervalos de confiança, pelo que foi este o escolhido (figura 7).

 


 

Recorrendo a um pequeno abuso de notação, o modelo ótimo identificado apresenta a seguinte expressão de saída possuidor de margem de fase infinita e margem de ganho de 30,4 dB.

 

 

Restantes pontos de funcionamento

Foram identificados os melhores modelos de cada regime de funcionamento por intermédio do mesmo procedimento descrito em detalhe na seção anterior. Verificou-se uma grande dispersão do tipo e ordem dos modelos ótimos. Os regimes de funcionamento analisados foram os que se apresentam na seguinte tabela 2, onde também se indica a função de transferência do modelo identificado para Y(z)/U(z).

 

 

Para que se possa constatar a grande diferença na resposta do sistema de tanques a estes vários pontos de funcionamento, mostra-se a resposta ao escalão unitário dos modelos de quatro regimes (figura 8).

 

 

Verifica-se que mesmo em um sistema simples, as não linearidades presentes influenciam fortemente o comportamento do sistema, pelo que, quando existem desvios significativos do regime de funcionamento será expectável que todas as variáveis se modifiquem, pelo que é importante identificar o modelo ótimo, para que o controlador do processo possa ser otimizado.

 


Controle do Sistema

Os dados recolhidos dos modelos identificados mostram que apenas o regime de funcionamento 1 apresenta boas características de estabilidade, devido a possuir um ganho estacionário bastante baixo, de tal forma que nem existe cruzamento com os 0 dB, sendo a margem de fase infinita e a de ganho de 35 dB. Contudo, este caso é uma exceção, a maior parte dos modelos apresentam margens de ganho bastante reduzidas, próximas dos 0 dB. Mais ainda, vários modelos requerem que a ação de controle esteja durante algum tempo acima dos 100%, o que é impraticável para a válvula, pelo que idealmente se deveria atuar também sobre outros elementos do sistema, como a bomba ou alterar o regime de funcionamento. Como o sistema tem estas características, não se podem colocar ações de controle muito fortes, para não desestabilizar o sistema, nem criar condições inalcançáveis da ação de controle. A colocação de controle integral leva a que o erro de regime estacionário seja eliminado, contudo isto é conseguido com uma ação de controle que envia para a válvula valores de 800%, o que não é possível, devido à saturação do atuador em 100%. Mesmo no caso mais favorável, o regime 1, a margem de ganho reduz-se de 35 para 9,73 dB e a margem de fase para 42,6º, com uma resposta muito mais lenta (tempo de pico 24 amostras) e com uma sobre-elevação de 27%. Reduzindo o ganho da componente integral de 1 para 0,5 a sobre-elevação diminuir, para 5%, mas o tempo de pico, que coincide com o tempo de estabelecimento a 5% é ainda mais lento, 42 amostras, como se ilustra na figura 9.

 

 

Com a introdução de controladores com componentes integral, o sistema fica bastante lento e também oscilatório, com acções de controle irrealizáveis em permanência (da ordem de 700%), pelo que qualquer opção com integração não é viável. A adição de componente derivativa é completamente contraindicada, dada a proximidade de vários regimes da instabilidade. A única opção possível é fazer o controle com controladores proporcionais apenas. Aumentando o ganho onde a margem de ganho é grande, como no regime 1, e diminuindo onde a margem de ganho é diminuta, como em todos os outros. Com este controlador consegue-se ter um maior valor final da resposta do regime 1, abdicando de pouca margem de ganho e mantendo a característica da resposta. Nos outros regimes, trata-se sobretudo de atenuação para garantir uma maior estabilidade sem que o real valor da ação de controle seja muito distante do alcançável. A introdução de um controlador proporcional de ganho 1,15 no regime 1 não coloca o sistema em oscilação, apresenta uma pequena melhoria de desempenho, à custa de uma redução para 29,2 dB da margem de ganho e com a introdução de valores da ordem dos 110% durante alguns momentos, visível na seguinte figura 10.

 


 

Daqui conclui-se que o controle tradicional de um sistema fortemente não linear e com regimes de funcionamento tão díspares está severamente limitado. Consequentemente, uma abordagem baseada em controle preditivo, em vez de puramente reativo, trará ganhos significativos no controle de um sistema não linear em que não se podem garantir condições de funcionamento. Em qualquer dos regimes, a implementação de técnicas de identificação de sistemas, em menos de dez minutos de dados, permite determinar um modelo que representa fielmente o comportamento do sistema. Portanto, em vez de controle reativo com uma componente mínima de inteligência e resultados medíocres no desempenho do controlador, será bastante melhor identificar o sistema, o que é rápido e leve computacionalmente, para depois implementar uma estratégia de controle preditivo, seguindo a estrutura apresentada na seguinte figura 11.

 

 

 

 

Conclusões

Identificou-se de um sistema de tanques real estando presentes fortes não linearidades. Os resultados apresentados ilustram a dificuldade em controlar um nível num sistema com diversas fontes de perturbação e constrangimentos de funcionamento. Consequentemente, o sistema empregado emula bastante bem um sistema industrial real, comprovando que embora o controle seja difícil, é sempre possível identificar a dinâmica do sistema para cada regime de funcionamento. Após a aquisição de dados, começou-se por utilizar o algoritmo CRA para verificar qual o atraso do sistema, analisando-se depois diversos modelos capazes de o descrever, Box-Jenkins, ARMAX, ARX e OE. Selecionou-se o OE na maioria dos casos, visto ser mais simples que os restantes e apresentar um grau de aproximação da mesma ordem de grandeza. A metodologia subsequente a esta escolha foi analisada em detalhe, sendo comparados diferentes modelos segundo a análise de resíduos e a qualidade da aproximação a dados de validação também gravados. Para os vários regimes estudados foram escolhidos os modelos mais representativos. Sendo sempre suficiente o período de gravação de 10 minutos, para um período de amostragem de 3 segundos. Os modelos com representação ótima de cada regime são de tipo e ordem diversa, o que é uma consequência das não linearidades do sistema. A implementação de controladores do processo é dependente do regime de funcionamento, pelo que se constatou ser difícil afinar um controlador para todos os regimes de funcionamento, sobretudo porque vários estão nas imediações da instabilidade. Assim sendo, como os modelos são boas representações do sistema, a otimização do controlador passa pela implementação de uma estrutura de controle preditivo, a qual pode identificar o modelo do processo em pouco tempo e assim garantir a melhorias na resposta do sistema.


 

* Matéria originalmente publicada na revista Mecatrônica Atual; Ano: 9; N° 50; Mar / Abr - 2011